Una homotecia de centro O y razón k, k≠0, es una transformación geométrica del plano que a un punto del plano A le hace corresponder otro A', alineado con F
y A, verificandose la relación k= OA'/OA
Así pues, dos figuras planas son homotéticas si sus puntos se corresponden en una homotecia.
Razón
La razón entre dos segmentos homológos en una homotecia es una constante e igual a la razón de homotecia o coeficiente de homotecia.
Observa que, según el valor de k, el tamaño de la figura transformada es mayor o menor que la original, y su posición es la misma que la inicial o queda invertida.
Si la razón de la homotecia es positiva, se habla de homotecia directa, y si es negativa, de homotecia inversa.
Determinación
Una homotecia estará determinada si disponemos de los siguientes datos:
  • El centro y dos puntos homotéticos.
  • El centro y la razón de homotecia.
  • Dos figuras homotéticas.

Propiedades
  • Si K es positivo, todos los puntos homólogos quedan a un mismo lado de O y si K es negativo, quedan a distinto lado.
  • La homóloga de una recta que pasa por el centro de homotecia es ella misma r=r'. Por ese motivo se llama recta doble.
  • La homóloga de una recta s que no pasa por el centro de homotecia es una recta paralela a esta s'. Por este motivo en ocasiones se dice que los segmentos homoteticos son paralelos entre si. Así lo podemos ver en la figura comparando los segementos AB y A'B'.

Homotecia dada por el centro y la razón

Sea el póligono ABCDE y consideremos un punto exterior O , centro de la homotecia, que uniremos con todos los vértices del polígono.
Determinaremos la proporcionalidad dada por la razón k sobre uno de los segmentos, por ejemplo OA, de esta forma hallaremos A'.
Por A' se traza una paralela al segmento AB, hallando sobre el segmento OB B'.
Por B' se traza una paralela al segmento BC, que corta al segmento OC en C' y obtenemos el segmento B'C'.
Operamos así sucesivamente hasta completar el polígono.

Este es un Applet de Java creado con GeoGebra desde www.geogebra.org – Java no parece estar instalado Java en el equipo. Se aconseja dirigirse a www.java.com

Pinchando con el ratón sobre la razón podremos elegir razones de homotecia de -5 a 5, y sobre el deslizador veremos como se mueve la figura transformada.
Manipulando los puntos de la figura original podremos obtener distintas figuras homotéticas de la dada, tanto de una homotecia positiva como de una negativa.

Asterio Gaitero, Creado con GeoGebra